大学別攻略法– category –

問題 \(x\geq 2\)を満たす実数\(x\)に対し、\(f(x)=\frac{\log{(2x-3)}}{x}\)とおく。必要ならば、\(\displaystyle\lim_{t\to \infty}\frac{\log{t}}{t}=0\)であること、および、自然対数の底\(e\)が\(2<e<3\)を満たすことを証明なしで用いてもよい...

問題 \(xyz\)空間において、点\(P_1(3,-1,1)\)を中心とし半径が\(\sqrt{5}\)の球面\(S_1\)と、点\(P_2(5,0,-1)\)を中心とし半径が\(\sqrt{2}\)の球面\(S_2\)を考える。 (1) 線分\(P_1P_2\)の長さを求めよ。 (2) \(S_1とS_2\)が交わりを持つことを示せ。こ...

問題 \(n\)を\(2\)以上の整数とする。それぞれ\(A,A,B\)と書かれた\(3\)枚のカードから無作為に\(1\)枚抜き出し、カードを元に戻す試行を考える。この試行を\(n\)回繰り返し、抜き出したカードの文字を順に左から右に並べ、\(n\)文字の文字列を作る。作っ...

問題 以下の問いに答えよ。 (1) \(t\)を\(t>1\)を満たす実数とする。正の実数\(x\)が2つの条件 (a) \(x>\frac{1}{\sqrt{t}-1}\) (b) \(x\geq 2\log_{t} x\) をともに満たすとする。このとき、不等式\(x+1>2\log_{t} (x+1)\)を示せ。 (2) \(n\leq ...

問題 \(a\)を正の実数とし、\(f(x)=x^2-2ax+4a^2\)とする。\(O\)を原点とする\(xy\)平面上の放物線\(C: y=f(x)\)の頂点を\(A\)とする。直線\(OA\)と\(C\)の交点のうち\(A\)と異なるものを\(P(p,f(p))\)とし、\(O\)から\(C\)へ引いた接線の接点を\(Q(q,f(q)...

問題 \(S\)を\(xyz\)空間内の原点\(O(0,0,0)\)を中心とする半径\(1\)の球面とする。また、点\(P(a,b,c)\)を点\(N(0,0,1)\)とは異なる球面\(S\)上の点とする。点\(P\)と点\(N\)を通る直線\(l\)と\(xy\)平面との交点を\(Q\)とおく。このとき、以下の問いに答...

問題 \(a\)を実数とし、関数\(f(x)\)を次のように定める。\(f(x)=x^4+\frac{4a}{3}x^3+(a+2)x^2\) このとき、以下の問いに答えよ。 (1) 関数\(f(x)\)が極大値を持つような\(a\)のとり得る値の範囲を求めよ。 (2) 関数\(f(x)\)が\(x=0\)で極大値を持つよう...

Ⅴ 問題 \(f(x)=\dfrac{\sin(\log x)}{x}\) \((x>1)\) について以下の問いに答えよ。(1)\(f'(x), f^''(x)\) を求めよ。(2) \(n\) を正の整数とする。関数 \(f(x)\) が極大値をとる \(x\) で, \(e^{2(n-1)\pi}<x<e^{2n\pi}\) となるものがただ \(1\) ...

Ⅳ 問題 \(i\) を虚数単位とする。\(a\) は \(1\) でない正の実数の定数とする。複素数平面において, 方程式 \(|z-a^2i|=a|z-i|\) を満たす点 \(z\) が表す図形を \(C\) とする。(1)図形 \(C\) は原点 \(O\) を中心とする円であることを示し, その半径を求...

Ⅲ 問題 座標平面において円 \((x-1)^2+(y-1)^2=1\) を \(C\) とする。\(a\) を \(1\) より大きい実数とし, \(2\) 点 \(A(2a, 0)\), \(B(-a, 0)\) をとる。点 \(A\) を通る円 \(C\) の \(2\) 本の接線のうち傾きが小さい方を \(l_1\) とし, 点 \(B\) を通る...