大学別攻略法– category –

問題 この問では, 0以上の整数の2乗になる数を平方数と呼ぶ。\(a\)を正の整数とし, \(f_a(x)=x^2+x-a\)とおく。 (1)\(n\)を正の整数とする。\(f_a(n)\)が平方数ならば, \(n\leq a\)であることを示せ。 (2)\(f_a(n)\)が平方数となる正の整数\(n\)の個数を\(...

問題 平行四辺形\(ABCD\)において, \(\angle ABC=\frac{\pi}{6}\), \(AB=a\), \(BC=b\), \(a\leq b\)とする。次の条件を満たす長方形\(EFGH\)を考え, その面積を\(S\)とする。 条件: 点\(A,B,C,D\)はそれぞれ辺\(EF,FG,GH,HE\)上にある。 ただし, 辺はその...

問題 (1)\(x>0\)のとき, 不等式\(\log{x}\leq x-1\)を示せ。 (2)次の極限を求めよ。\[\lim_{n\to \infty}n\int^{2}_{1} \log{(\frac{1+x^{\frac{1}{n}}}{2})}dx\] 方針 (1)左辺を移項し、\(f(x)=x-\log{x}-1\)の\(x>0\)での増減を調べる。 微分によ...

問題 座標平面上の点\(A(0,0),B(0,1),C(1,1),D(1,0)\)を考える。実数\(0<t<1\)に対して, 線分\(AB\), \(BC\), \(CD\)を\(t:(1-t)\)に内分する点をそれぞれ\(P_t\), \(Q_t\), \(R_t\)とし, 線分\(P_tQ_t\), \(Q_tR_t\)を\(t:(1-t)\)に内分する点をそ...

早稲田の数学 ― 受験数学を味わう 2025年 早稲田大学 理工3学部 大問Ⅰ（複素数平面・積分｜複素数平面と\(xy\)平面をまたぐ）　👉 2025年度 早稲田理工 数学 大問Ⅰ 大問Ⅱ（図形の面積(微分)｜面積の最大値を求める）　👉 2025年度 早稲田理工 数学 大問Ⅱ ...

問題 座標平面上に3点\(A(x,0), B(x,y), C(0,y)\)をとる。ただし, \(B\)は単位円周上を動き, \(x>0, y>0\)である。このとき, 線分\(AB\)と\(BC\)の長さが等しくなる\(x\)の値は\(x=\)(ヌ)である。 次に, \(n\)を\(2\)以上の整数とし, \(k=1,2,……,n-1...

問題 以下の設問では, 区間\([a,b]\)で連続な関数\(f(x),g(x),h(x)\)に対して, 区間\([a,b]\)で\(f(x)\leq g(x)\)ならば\(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq\int_{a}^{b}g(x)dx\)であること, および\(|\int_{a}^{b}h(x)dx|\leq \int_{a}^{b}|h(x)|dx\)であることをこ...

問題 点\(P,Q\)を数直線の原点におき,\(1\)個のさいころを投げて出た目に応じて\(P,Q\)を動かす。偶数の目が出たときは\(P\)を正の向きに\(1\)だけ動かし, \(5\)または\(6\)の目が出たときは\(Q\)を正の向きに\(1\)だけ動かす。たとえば, \(6\)の目が出た...

問題 座標平面上の点\(P(1,1)\)と点\(Q(1,-1)\)および曲線\[C:y=\frac{1}{x-4}\ \ \ (x>4)\]を考える。 (1)曲線\(C\)の接線で点\(Q\)を通るものは存在しないことを証明しなさい。 (2)曲線\(C\)の接線で点\(P\)を通るものを\(l\)とし, \(C\)と\(l\)の接...

問題 (1)複素数平面上で, 方程式\(|z+i|=2|z-\sqrt{3}|\)を満たす点\(z\)全体が表す図形は, 中心が(ア), 半径が(イ)の円である。 (2)\(n\)を自然数とする。1から\(n\)までの自然数の中で6または8または9で割り切れるものの個数を\(a_n\)で表す。このとき, ...